(d'après "Tonton lulu")
Le but de ce thème est de trouver et de dessiner tous les assemblages exacts, autour d'un point, de k polygones réguliers : ce que l'on peut nommer des k-collages archimédiens.
Calcul de l'angle d'un polygone régulier
Établir une formule de calcul de l'angle d'un polygone régulier à n côtés.
Calculer alors les angles des polygones réguliers à n côtés pour n compris entre 3 et 10.
Les 3-collages archimédiens
Dans toute cette partie, on se limitera à la recherche de 3-collages archimédiens, réalisés avec des polygones réguliers dont on notera respectivement, n, p, q, les nombres de côtés.
1) Établir une égalité simple reliant les inverses des entiers n, p, q.
2) Commençons par rechercher les collages où n = 3.
- Établir qu'alors p > 6
- puis que
- exprimer enfin q en fonction de p et en déduire les valeurs possibles pour p et q.
3) Appliquer la technique du 2) au cas où n = 4.
4) Appliquer la technique du 2) au cas où n = 5
5) Appliquer la technique du 2) au cas où n = 6
6) Prouver qu'alors on a trouvé les 3-collages archimédiens. Réaliser une synthèse de vos résultats.
Les autres k-collages archimédiens
De même pouvez-vous rechercher quelques solutions à plus de 3 polygones, en sachant quand même que le nombre de polygones est limité. Une recherche exhaustive, si elle est possible avec des méthodes analogues à celle de la partie précédente, est fort longue...
Pavages
Parmi les k-collages archimédiens trouvés, certains permettent de "paver le plan" (sans vide, ni recouvrement, sans non plus qu'aucun sommet ne se trouve sur le côté d'un polygone, et enfin de manière que la configuration autour de chaque sommet soit la même). Pouvez-vous en identifier ?
