Léonard de Pise, dit Fibonacci, fut peut-être le plus inventif des "mathématiciens" médiévaux.
A la fin du XIIe siècle, il fit paraître un ouvrage de propagande en faveur du système d'écriture arabe des chiffres : le Liber Abaci. En effet, à l'époque, on utilisait encore les chiffres romains, et les calculs se faisaient sur une abaque (une sorte de boulier), ce qui n'était pas toujours commode d'emploi.
Mais son nom est resté associé à une "suite" de nombres qui apparaît dans des situations variées : c'est la "suite de Fibonacci", thème de ce travail.
Un exemple : le crabe qui ne montait pas
Une bestiole se déplace dans un "couloir" (infini...), où il n'avance que vers la droite ou le bas, mais sans jamais monter. On cherche quel est le nombre de chemins par lesquels il peut atteindre une case. Par exemple, pour atteindre la case 4, il ne peut utiliser que les chemins 124, 134, 1234. Il a 3 chemins disponibles. Le nombre de manières d'atteindre la nième case est le nième nombre de Fibonacci, noté Fn. Donc F4 = 3.
- Calculer les neuf premiers nombres de Fibonacci.
- Pour arriver sur une case, d'où le crabe peut-il venir ? Déduire de la réponse une relation entre l'un des nombres de Fibonacci et les deux qui le précédent.
Une formule
Binet démontre (en 1843) que
; on peut en déduire que Fn est l'entier le plus proche du nombre
. Calculer ainsi F10 puis F100.
Produits
La "suite" des nombres de Fibonacci possède de nombreuses propriétés, à découvrir :
- sur quatre nombres de Fibonacci consécutifs, comparer le produit des deux extrêmes, aux carrés de ceux du milieu.
- comparer le carré d'un des nombres de Fibonacci au produit des deux qui l'encadrent.
Variété des situations...
Dans les questions suivantes l'objectif est de conjecturer si la suite définie est, ou non, une suite de Fibonacci ou un "morceau régulier" de cette suite :
1) la suite du nombre de manières d'arranger, au dessus d'une rangée de n billes, des billes en rangées horizontales de façon que toutes les billes de chacune des rangées se touchent (et, évidemment, que toute bille ne se trouvant pas sur la rangée la plus basse touche deux billes de la rangée du dessous, sinon elle tombe).
2) la suite du nombre de manières d'arranger n billes en rangées horizontales de façon que toutes les billes de chacune des rangées se touchent (et que toute bille ne se trouvant pas sur la rangée la plus basse touche deux billes de la rangée du dessous).
3) la suite du nombre, à la génération n, de parents d'un faux-bourdon ! (on rappelle qu'un faux-bourdon, abeille mâle, n'a pas de père)
4) la suite du nombre de manières différentes de peindre un immeuble de n niveaux, où le premier niveau est bleu, et où l'on peut peindre chaque niveau en jaune ou en bleu, mais en interdisant à deux niveaux adjacents d'être bleus.
Examen des quotients Fn+1/Fn quand n augmente
Essais avec un tableur :
Fn+1/Fn 1 1 2 2 3 1,5 5 1,666666667 8 1,6 13 1,625 21 1,615384615 34 1,619047619 55 1,617647059 89 1,618181818 144 1,617977528 233 1,618055556 377 1,618025751 610 1,618037135 987 1,618032787 1597 1,618034448 2584 1,618033813 4181 1,618034056 6765 1,618033963 10946 1,618033999 17711 1,618033985 28657 1,61803399 46368 1,618033988 75025 1,618033989 121393 1,618033989
Une biographie
(Encyclopædia Universalis)
Mathématicien italien, né et mort à Pise.
Connu aussi sous le nom de Léonard de Pise, Leonardo Fibonacci fut éduqué en Afrique du Nord, où son père, marchand de la ville de Pise (l'un des plus grands centres commerciaux d'Italie, à l'époque, au même rang que Venise et Gênes), dirigeait une sorte de comptoir ; c'est ainsi qu'il eut l'occasion d'étudier les travaux algébriques d'al-Khuwarizmi.
Par la suite, Fibonacci voyagea dans tout le monde méditerranéen, rencontrant de nombreux scientifiques et prenant connaissance des différents systèmes de calcul en usage chez les marchands de l'époque. De toutes les méthodes de calcul, il jugea celle des Arabes la plus avancée. Aussi, de retour à Pise, il publie en 1202 un ouvrage, Liber abbaci , où, le comparant au système romain, il expose le système de numération indo-arabe. Il est le premier grand mathématicien à l'adopter et à le vulgariser auprès des scientifiques. Son ouvrage contient également la plupart des résultats connus des Arabes en algèbre et en arithmétique (racines carrées, racines cubiques, équations du premier et du second degré).
En 1220, il publie Practica geometriae, qui recense toutes les connaissances de l'époque en géométrie et en trigonométrie (écrits d'Euclide et des autres mathématiciens grecs, transmis par des manuscrits arabes ou traduits par des Italiens) ; en particulier, l'ouvrage contient la formule de Héron donnant l'aire du triangle en fonction des longueurs des trois côtés.
Mais Fibonacci ne se contenta pas de faire connaître les travaux des Anciens et d'être à l'origine de la renaissance des études mathématiques en Occident, il poursuivit aussi ses propres travaux. Sa réputation scientifique était telle que l'empereur Frédéric II s'arrêta à Pise pour le voir et lui poser des " colles " (cette sorte de compétition entre scientifiques devait se développer au XVIe et au XVIIe siècle). La résolution de ces problèmes (les plus célèbres étant : trouver un nombre x tel que
et
soient tous deux des carrés ; résoudre l'équation du troisième degré
) ainsi que la résolution d'autres problèmes de même nature sont contenues dans Liber quadratorum (1225).
Notons enfin que Fibonacci est à l'origine d'une suite récurrente qui porte son nom, suite dont les deux premiers termes sont 0 et 1 et dont le terme d'ordre
est égal à la somme des deux termes d'ordre n et
pour tout n supérieur ou égal à 2.
