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Droites du triangle

(Proposé par Didier Missenard)

Les propriétés du triangle sont innombrables : les cataloguer mériterait un livre.

L'objectif de ce travail est de découvrir la richesse de ce simple objet qu'est un triangle à travers quelques unes de ses propriétés.

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Cercle d'Euler

Dans un triangle ABC, construisez :

a) - le cercle circonscrit, son centre ;

- l'orthocentre ;

- le centre de gravité.

b) - les pieds des médianes (qui forment ce qu'on appelle le triangle médian de ABC) ;

- les pieds des hauteurs (qui forment ce qu'on appelle le triangle orthique de ABC) ;

- les milieux des segments joignant l'orthocentre aux points A, B et C.

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Six bissectrices

Dans un triangle, construisez :

a) - les trois bissectrices intérieures ;

- les trois bissectrices extérieures (droites passant par un sommet et perpendiculaires à la bissectrice intérieure issue de ce sommet) ;

b) - le cercle inscrit ;

- les trois cercles exinscrits (tangents aux côtés du triangle, et dont les centres sont les points d'intersection des bissectrices extérieures).

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Euler + Bissectrices = Feuerbach !

Dans un triangle, construisez :

- le cercle d'Euler ;

- le cercle inscrit ;

- les trois cercles exinscrits.

Le point de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit s'appelle le point de Feuerbach. Il peut être intéressant de le projeter orthogonalement sur les côtés des triangles médians et orthiques.

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