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Cycloïdes

(Proposé par Didier Missenard)

Dans un grand cercle, marquer, à la règle et au compas, de nombreux points (au moins cent !) régulièrement espacés sur ce cercle (expliquer et discuter la construction choisie). Nommer ces points, dans l'ordre: A₀, A₁, A₂, etc...

Joindre ces points par des segments en respectant la règle suivante : le segment d'origine A₁ a pour extrémité A₂, le segment d'origine A₂ a pour extrémité A₄, le segment d'origine A₃ a pour extrémité A₆, etc... (le segment d'origine A_n a pour extrémité A_2n). Attention: : à partir d'un certain moment, on va "dépasser" A₀. Par exemple, s'il y a 120 points autour du cercle, on devrait relier A₆₀ à A₁₂₀ ... qui n'existe pas ; en fait on reliera A₆₀ à A₀ (on continue de tourner).

Une fois tous les segments tracés, ils "enveloppent" une courbe, que l'on peut tracer d'un trait léger : on l'appelle une "cardioïde". Pourquoi ?

Sur un autre cercle, Réaliser une courbe analogue en reliant les points A_n aux points A_3n. Cette courbe s'appelle une "néphroïde". Pourquoi ? On peut la contempler dans le bol du petit déjeuner, à condition de n'être pas trop endormi...

Si je dis que l'on a tracé les courbes C₂ et C₃, saurait-on tracer C₄ et C₅ ?

Pour tracer aussi les courbes C_-2 et C_-3, il faudra partir d'un cercle plus petit, situé au centre de la feuille, et tracer non plus des segments mais des droites.

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