Le théorème de Gauss
Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'on a compris pourquoi l'on arrivait à construire certains polygones réguliers à la règle et au compas (le pentagone, par exemple), mais que, pour d'autres, la recherche restait infructueuse (par exemple pour l'heptagone, à 7 côtés).
En effet, le mathématicien allemand Gauss (1778-1855) démontra le théorème suivant :
Un polygone régulier à n côtés n'est constructible (à la règle et au compas) que si, et seulement si, n est de la forme
où p est un naturel, et où les nombres
sont des "nombres de Fermat" premiers.
Un nombre de Fermat est un nombre de la forme
où m est un naturel.
Un nombre premier est un naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
a) Prouver que, pour qu'un nombre n soit premier, il suffit qu'il ne soit divisible par aucun nombre premier inférieur à n.
b) Démontrer que les polygones réguliers à 5, 34, 128, 257 côtés sont constructibles.
c) Donner deux autres exemples de polygones réguliers constructibles.
d) Donner deux exemples de polygones réguliers non constructibles.
e) Avec une calculatrice programmable.
Établir qu'un polygone régulier à 4 294 967 297 côtés n'est pas constructible à la règle et au compas.
Remarque : ce résultat, démontré (sans calculatrice...!) par le prolixe mathématicien suisse Euler (1707-1783), infirme une conjecture de Fermat, qui pensait que tous les nombres qui portent son nom étaient premiers.
Construction du pentagone régulier
1) Construction
Réaliser la construction suivante :
- Tracer un cercle de centre O, de rayon 1.
- Tracer un diamètre [AS], le milieu H de [SO], et un rayon [OM] perpendiculaire au diamètre.
- Le cercle de centre H et de rayon HM recoupe le diamètre en un point L.
- La médiatrice de [OL] coupe le diamètre en un point I, et le cercle en un point B.
- Alors, la distance AB est le côté du pentagone régulier : la reporter autour du cercle pour achever la construction.
2) Éléments de preuve
a) ABCDE étant un polygone régulier de centre O, calculer une mesure en radians de l'angle AOB. Donner, à l'aide de votre calculatrice, une valeur approchée à 10-8 du cosinus de cet angle.
b) Démontrer que
. En déduire que l'angle AOB a pour cosinus
. Donner une valeur approchée à 10-8 du nombre
.
c) Pouvez-vous en déduire l'exactitude de la construction proposée ?
