(Proposé par Yann Ollivier)
Une tresse est un ensemble de brins qui partent à gauche tous alignés, qui progressent vers la droite éventuellement en passant les uns au-dessus des autres, et qui arrivent alignés à droite. Exemple :
On considère que deux tresses sont équivalentes si l'une peut se déformer en l'autre (à extrémités fixées). Par exemple, les deux tresses suivantes sont équivalentes :
=
Pouvez-vous donner des règles permettant de savoir si deux tresses sont équivalentes ? Pouvez-vous donner des règles permettant d'être sûr que deux tresses ne sont pas équivalentes ?
(Très difficile) Ces règles suffisent-elles à résoudre le problème de l'équivalence pour toutes les tresses ?
On peut multiplier deux tresses ayant le même nombre de brins, simplement en les mettant l'une après l'autre. Par exemple
*
=
Si a et b sont des tresses, est-ce que
est nécessairement une tresse équivalente à
?
Voici la tresse neutre :
Toute autre tresse, multipliée par celle-ci, restera inchangée.
Étant donnée une tresse a, pouvez-vous trouver une tresse b telle que
soit équivalent à la tresse neutre ? Voici un exemple :
*
=
Pouvez-vous trouver un ensemble de tresses qui permettent, par multiplication entre elles, de retrouver toutes les tresses (à un nombre fixé de brins) ? (Plus difficile) pouvez-vous construire toutes les tresses à partir de seulement 4 tresses de base (à nombre de brins fixé) ?
