(Proposé par Yann Ollivier. Aussi au format postscript gzippé.)
Un brenom est un nombre où on met une infinité de chiffres vers la gauche au lieu de mettre une infinité de chiffres après la virgule. Un exemple de brenom peut être : ...123123123123
On peut additionner et multiplier les brenoms suivant les règles ordinaires de calcul, en posant l'opération et en commençant par la droite.
Un exemple d'addition pourrait être :
Que peut-on en déduire ? Que le brenom ...999999999 est égal à -1. On peut ainsi calculer les opposés en brenoms de tous les nombres entiers habituels (donnez des exemples). Ainsi, plus besoin de nombres négatifs !
Un exemple de multiplication :
On peut donc poser qu'en brenoms, ...666666667 est égal à
.
Donnez d'autres exemples de divisions en brenoms. La division d'un brenom par un nombre entier est-elle toujours possible en brenoms, ou y a-t-il des nombres par lesquels on ne peut pas toujours diviser ? Essayez de trouver une caractérisation de ces nombres.
L'écriture en brenom de
ci-dessus est périodique. Est-ce un phénomène général ? Comparez les périodes que vous trouvez à la période de l'écriture décimale ordinaire.
Peut-on diviser un brenom par un autre brenom ? (Difficile : explicitez un procédé.)
On se donne maintenant le droit d'utiliser dans un brenom, un nombre fini de chiffres après la virgule (si on en mettait un nombre infini des deux côtés, on aurait des problèmes pour définir les additions et les multiplications, essayez de voir pourquoi). Est-ce que cela change le problème de la division d'un brenom par un nombre entier ? Par un brenom ?
Voici le début d'une multiplication :
Essayez de remplacer les points d'interrogation par des chiffres, de telle sorte que le résultat fasse
. De tels nombres sont appelés diviseurs de
. Dans le même ordre d'idées, peut-on trouver un brenom x tel que
?
Reprenez toutes les questions précédentes en supposant que les brenoms sont écrits en base n, en particulier dans le cas où n est un nombre premier. Cela change-t-il la réponse à certaines questions ?
Remarque : les brenoms en base p, où p est un nombre premier, sont appelés nombres p-adiques par les mathématiciens, et donnent lieu à une théorie riche et importante.
