Des urnes et des billes

[Patrick_Njionou]

Chers tous!

Trois urnes contiennent des billes. Chaque urne est suffisamment grande pour contenir la totalité des billes. La seule opération autorisée est de doubler le nombre de billes contenues dans une urne en prélevant des billes dans une autre.

On demande de démontrer qu'il est possible, quel que soit la configuration initiale, d'obtenir une configuration où l'une des urnes est vide.

Bien, cordialement!

[pierre]

Bon, allez les jeunes, c'est un grand classique ça... Il sera même dans le futur poly de combinatoire
Qui pour résoudre ça en prem's?

Pierre, éleveur de champions.

[cyril]

Un futur poly de combinatoire est prévu ? Ce serait absolument génial !

[arthur8128]

On remarque que le nombre de bille est positif dans une urne et que le nombre de bille est invariant ainsi si on ne peut pas augmenté le maximum une infinité de fois et que l'on peut pas diminué le minimum une infinité de fois.
Soit a,b,c les nombres des trois urnes respecitives . Tel que a>=b>=c.
On va prouver qu'a partir d'une position et d'un certain nombre d'étape qu'on peut soit faire soit diminuer le minimum soit augmenter le maximum en gardant ou en diminuant le minimum soit qu'on atteigne 0.
=> indique qu'on peut passer au couple suivant (pas forcément dans l'ordre)
On procéde par l'absurde .On a a>=2b car sinon on fait a;b;c => a-b;2b;c le minimum est inférieur ou égale au précédent minimum et le maximum a augmenté. puis b>=2c car sinon a;b;c=>a;b-c;2c le minimum a diminué.
On va alors prouvé par récurence que b>=(n)c
on supose que b<=(n+1)c et on contredit l'absurde.

[arthur8128]

étant sonné que (n+1)c>b>=nc ; a>=2nc et donc en écrivant n en base 2 on le lit de gauche a droite (<=) à chaque fois qu'on lit un 1 sur le chiffre on diminue le terme du b pour doublé celui qui contient que du c sinon on utilise celui qui contient a pour doublé celui qui contient que du c.
(Par example pour n=41 il s'écrit en base 2 101001 on fait donc: a;b;c =>a;b-c;2c (1) =>a-2c;b-c;4c (0) =>a-6c;b-c;8c (0) =>a-6c;b-9c;16c (1) =>a-24c;b-9c;32c (0) =>a-24c;b-41c;64c (1)
( on retrouve bien 41 mais a l'envers 101001)) (on remarque que a est suffisamment grand car a>=2n*c)
ce qui conclut car sinon on obtient alors : b-nc<c. Ainsi pour tous n b>=n*c .Ainsi si c est différant de 0 b est infinie ce qui est contradictoir ainsi on peut passé par 0.

[sandrine]

Un futur poly de combinatoire est prévu ? Ce serait absolument génial !

Ouais, et aussi un tome 2 du poly d'arithmétique...

[arthur8128]

Ca fesait longtemps qu'on en avait pas.

[pierre]

Un futur poly de combinatoire est prévu ? Ce serait absolument génial !

Ouais, et aussi un tome 2 du poly d'arithmétique...

Ouah l'aut'hé On voit que ce n'est pas toi qui t'ait déjà tapé (c'est le cas de le dire) plus de 200 exos de combi avec solutions (en attendant les 200 autres )
Non, après le poly qui n'existe pas, je renouvelle le genre en inventant le poly illisible par un humain normalement constitué.

Pierre, qui donnera de l'EPO et de la créatine pendant les stages.

[arthur8128]

C'était un peu embétant les 1 et 0 était sensé arriver juste en dessous les couples . Ce qui rendait moins bien ce que l'on faisait et ce qui le rendait pratiquement illisible.

[Nayssi]

Un futur poly de combinatoire est prévu ? Ce serait absolument génial !

Ouais, et aussi un tome 2 du poly d'arithmétique...

(Tant attendu!)