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exo d'arithm

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exo d'arithm

Messagepar shiamo » Lun 17 Nov 2008 17:29

soit a,b et c des entiers naturels
on suppose que a^2/(b+c) et b^2/(a+c) et c^2/(a+b) sont premiers
démontrer que a=b=c
shiamo
 
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Re: exo d'arithm

Messagepar pierre » Mar 18 Nov 2008 09:29

On pose p = \frac {a^2}{b+c}, q = \frac{b^2}{c+a}, r = \frac {c^2}{a+b}, avec p,q,r premiers.
Notons qu'alors p,q,r divisent respectivement a,b,c.

On peut toujours supposer que a\leq b \leq c, et donc 2c \geq a+b = \frac {c^2}{r} d'où 2r \geq c. Comme r divise c, c'est donc que r=c ou r=2c.
Dans le dernier cas, cela signifie que 2c=a+b et, compte-tenu de l'ordre imposé, que a=b=c.

Dans le cas où r=c, il vient a+b=c=r. En remplaçant, il vient a^2 = p(a+2b), que l'on peut voir comme une équation du second degré en a. Son discriminant est p(p+8b) et doit être un carré, d'où p divise 8b.
Si p divise b, comme il divise a, il divise a+b et donc c, d'où p=c (puisque c est premier dans ce cas). Mais alors c divise a et b, et comme c'est le plus grand des trois, on a a=b=c, en contradiction avec a+b=c.
Si p=2, en revenant au discriminant, il vient qu'il existe un entier x tel que b=\frac{x^2-1}{4} et a=1+x, d'où c=a+b = \frac{(1+x)(3+x)}{4} qui est pair, d'où c=2 et il est facile de vérifier que c'est impossible.

Pierre.
pierre
 
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