Equation ^^

par **_-Gaara-_** » Jeu 10 Juil 2008 16:01

Salut à tous,

bon je propose un petit problème vu que c'est ici la bonne section :

résoudre :

x² + y² - 1 = 4xy avec x et y dans N :ugeek:

par **xavier** » Jeu 10 Juil 2008 16:45

Hum, c'est un Pell-Fermat déguisé. (Voir le fameux poly d'arithmétique -- http://www.animath.fr/IMG/pdf/cours-arith1.pdf -- pour la définition et la résolution de ces équations.)
Donc, on réécrit l'équation sous la forme (x-2y)^2 - 3 y^2 = 1, et roulez petite bolide.

par **_-Gaara-_** » Jeu 10 Juil 2008 16:54

Génial

mais je ne l'ai pas tiré du poly ^^

allez une autre pour la route :
Soit a dans N et d = a² -1. Soient x et y deux entiers. Montrez que si |m| < 2a + 2, avec m= x² - dy² ,alors |m| est un carré parfait.

par **xavier** » Sam 12 Juil 2008 07:51

Allez, allez, les jeunes, on s'entraîne, on s'entraîne...

--
Xavier, que c'est quand même pas à moi de faire tous les exos.

par **Guillaume.B** » Lun 21 Juil 2008 21:58

Lemme (démo laissée au lecteur

) : On pose $z_0 = x_0 + y_0\sqrt{d}$ avec (x_0, y_0)

le couple minimal non trivial vérifiant x_0^2 - dy_0^2 = 1

. Alors, nous disposons des relations suivantes, où

et

sont des entiers naturels solutions de l'équation x^2 - dy^2 = n

, avec

un entier relatif donné :

$|x|\leq \frac{z_0+1}{2\sqrt{z_0}}\cdot\sqrt{|n|}$

$y=\sqrt{\frac{x^2-n}{d}}$

-----
Clairement, l'équation x^2 -(a^2 - 1)y^2 = 1

admet comme couple minimal non trivial (a,1)

. Alors si

vérifie

, il vérifie aussi :

$|x|\leq \frac{a+\sqrt{d}+1}{2\sqrt{a+\sqrt{d}}}\cdot\sqrt{|m|}=\sqrt{\frac{a+1}{2}\cdot|m|}$

Or |m| < 2a + 2

, d'où

Il s'ensuit alors ( x,y) = (a, 1)

, d'où

ou bien

et alors

. Dans tous les cas,

est bien un carré parfait

par **Guillaume.B** » Mar 22 Juil 2008 02:32

J'en ai un pour toi :

Déterminer tous les nombres triangulaires $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ qui sont des carrés parfaits.

par **_-Gaara-_** » Mar 22 Juil 2008 09:31

En tâtonnant je dirais que ce sont tous les nombres de la forme $8 \times T_n +1$ non ?

J'ai un document pour toi Guillaume

par **Erchamion** » Ven 25 Juil 2008 22:59

si n/2 est entier, comme n est premier avec n+1, alors n/2 et n+1 sont tous deux des carrés, et n = 2a² et n+1 = 2a²+1 = b².
C'est donc Pell-Fermat : b² - 2a² = 1

si m=n+1 est pair, avec le même raisonnement on tombe sur 2a² - b² = 1

par **xavier** » Sam 26 Juil 2008 08:08

Je ne sais pas exactement ce que ça vaut, mais tu peux toujours aller jeter un oeil à http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/

Equation ^^

Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Re: Equation ^^

Qui est en ligne ?